★小数の表現４★

２進数「float型」での浮動小数点の表現は、次のようになります。

※これまで小数というと「double型」を使ってきましたが、「double型」は64ビットもあるため説明しにくいので、「float型」（32ビット）で説明します。

「符号」（「仮数」＋１）　×　２　の　「指数−１２７」乗

例えば、

「符号」が「＋」
「仮数」が「２進数（０．１）」
「指数」が「１２８」

の場合

＋（０．１＋１）　×　２　の　（１２８−１２７）乗

となり、

＋１．１　×　２　の　１乗

２進数「１．１」を１０進数に直すと、「１．５」になるため、

＋１．５　×　２　＝　＋３

となります。

逆に、１０進数「＋３」を２進数の浮動小数点に変形させる場合、

１０進数「３」を２進数で表現すると「１１」

表現形式を浮動小数点形式に変えてみると、

＋１１．０　×　２　の　０乗

「０乗」の部分は「１２７を引いた結果」で無ければならないため、

＋１１．０　×　２　の　（１２７−１２７）乗

となります。

さらに変形して、

＋１．１　×　２　の　（１２８−１２７）乗　←　つまり「１乗」

「仮数」を（０．？＋１）に直し、

＋（０．１＋１）　×　２　の （１２８−１２７）乗

これで完成です。

情報として保存するのは、

「符号」の「＋」
「仮数」の「１」　（１０進数と同じく０．は省略）
「指数」の「１２８」

で良いのです。

実際には、この情報を２進数で扱っています。

「符号」だけは数値ではないので、「＋」であれば「０」、「−」であれば「１」としています。

Ｃ言語で小数を扱える変数の型は「float」と「double」ですが、ここでは「float」を使って説明しています。

「float」型は「３２ビット（２進数３２桁）」の大きさです。

この３２ビットを次のように分けて使います。

「符号」 → １ビット
「指数」 → ８ビット
「仮数」 → ２３ビット

上の１０進数「＋３」を「float」型に当てはめてみると、

「符号」　→　０
「指数」　→　１２８（１０進）　→　１０００００００
「仮数」　→　（０．）１００００００００００００００００００００００

全部並べると、

0 10000000 10000000000000000000000

分かりやすく４桁ずつ区切ると

0100 0000 0100 0000 0000 0000 0000 0000

となり、

１６進数で、

４０４０００００

となります。

実際にどのように表示されるか試してみます。

※このプログラムで使っている命令や考え方はこのコラムを書いている時点では説明しておりません。
　もっとずっと後になって説明する内容ですので、今のところは実行するだけにしてください。

<sample program col019-01>

#include <stdio.h>

union sample {
    float float_data;
    unsigned char char_data[4];
};

int main( void )
{
    union sample data;

    int i;

    data.float_data = 3.0f;

    for( i=3; i>=0; i-- ) {
        printf( "%02x ", data.char_data[i] );
    }
    printf ( "\n" );
}

<実行結果 VC++ Express Edition>

40 40 00 00
続行するには何かキーを押してください・・・

「3.0f」と書いてある部分を色々変更してみてください。

試してみたら「誤差について」を読んでみてください。

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