★２進数について★

「進数の話」で１０進数や２進数、８進数、１６進数の考え方を書きましたが、念のため２進数の考え方をもう少し書いておきます。

まず、１０進数のおさらいです。

１０進数　１２３４　は、

　　　　１の位　が　４　個　＝　　　　４
　　　１０の位　が　３　個　＝　　　３０
　　１００の位　が　２　個　＝　　２００
　１０００の位　が　１　個　＝　１０００

これを全て加算した値でした。

１の位から「位」が１０倍ずつ増えているのがわかります。

それぞれの位が「何個あるか」で数が変わります。

それぞれの位の個数は「０〜９」までです。

※１の位が１４個と指定できてしまうと１２３１４となり、位の区別がつかなくなります。
　この場合、１０の位が１個と１の位が４個となり、いわゆる桁上がりをし、１２４４となります。

では、２進数です。

とりあえず、２進数に関する用語の説明をしておきます。

２進数の１桁を「ビット（ｂｉｔ）」と言います。

２進数８桁（８ビット）で「１バイト（Ｂｙｔｅ）」という単位になります。

例えば、２進数「１１００ １００１」というデータは、「８ビット」であり、「１バイト」の情報です。

また、「１１００ １００１」の左端のビット（赤色）を「最上位ビット」、右端のビット（紫色）を「最下位ビット」と呼びます。

あまり大きな数を扱うと混乱してしまいますので、まずは４ｂｉｔ（２進数４桁）で考えてみましょう。

２進数　１０１１　は１０進数で考えると、

　１の位　が　１個　＝　１
　２の位　が　１個　＝　２
　４の位　が　０個　＝　０
　８の位　が　１個　＝　８

これを全て加算した、１１（１０進数）となります。

１の位から「位」が２倍ずつ増えているがわかります。

それぞれの位が「ある（１）か無い（０）か」で数が変わります。

それぞれの位の個数は「０か１」です。

４ｂｉｔで表現できる値を全て書いてみます。

　２進数　　　　１０進数

　００００　→　　０
　０００１　→　　１
　００１０　→　　２
　００１１　→　　３
　０１００　→　　４
　０１０１　→　　５
　０１１０　→　　６
　０１１１　→　　７
　１０００　→　　８
　１００１　→　　９
　１０１０　→　１０
　１０１１　→　１１
　１１００　→　１２
　１１０１　→　１３
　１１１０　→　１４
　１１１１　→　１５

あれ？マイナスは？と思った方もいらっしゃると思います。

ここで使用する２進数はunsigned型（符号なし）を想定しています。

マイナスについての考え方(signed型)は後述します。

次に８ｂｉｔ（２進数８桁）の場合を考えてみます。

これはＣ言語のchar型と同じサイズです。

２進数「１１１１ １０００」を１０進数で考えると、

　　　１の位　が　０個　＝　　　０
　　　２の位　が　０個　＝　　　０
　　　４の位　が　０個　＝　　　０
　　　８の位　が　１個　＝　　　８
　　１６の位　が　１個　＝　　１６
　　３２の位　が　１個　＝　　３２
　　６４の位　が　１個　＝　　６４
　１２８の位　が　１個　＝　１２８

これを全て加算した、２４８（１０進数）となります。

４ｂｉｔの時と同じく、マイナスを考えずに表現できる数（unsigned型）を書きます。
　
　２進数　　　　　１０進数

　0000 0000　→　　　０
　0000 0001　→　　　１
　0000 0010　→　　　２
　0000 0011　→　　　３
　0000 0100　→　　　４
　0000 0101　→　　　５
　　　・
　　　・
　　　・
　1111 1000　→　２４８
　1111 1001　→　２４９
　1111 1010　→　２５０
　1111 1011　→　２５１
　1111 1100　→　２５２
　1111 1101　→　２５３
　1111 1110　→　２５４
　1111 1111　→　２５５
　
途中省略していますが、０〜２５５の数が表現可能です。

※２進数を４桁ずつ区切るのは「見やすく」するためです。（他の意味もありますが、またの機会にしましょう）

さて、Ｃ言語でのchar型は８ｂｉｔのサイズしかありませんから、８ｂｉｔを超える数は表現できません。

が、あえて８ｂｉｔを超える数を代入した場合はどうなるのでしょうか？

unsigned char型（符号なし）で考えてみます。

１０進数　３００　を　２進数に直すと、

　１　００１０　１１００

となります。 ※１０進数から２進数への変換はコラム「基数変換」をご確認ください。

桁を数えると、９ｂｉｔになりますね。

詳しく見ると、

　　　１の位　が　０個　＝　　　０
　　　２の位　が　０個　＝　　　０
　　　４の位　が　１個　＝　　　４
　　　８の位　が　１個　＝　　　８
　　１６の位　が　０個　＝　　　０
　　３２の位　が　１個　＝　　３２
　　６４の位　が　０個　＝　　　０
　１２８の位　が　０個　＝　　　０
　２５６の位　が　１個　＝　２５６

これらを全て加算したら、３００（１０進数）になりますね。

つまり、１０進数「３００」は、８ｂｉｔ（２進数８桁）に収まらないのです。

収まらなかった場合、次のようになります。

各ビットを収納する箱をイメージしてください。
下に書いてある数値は「位」です。

　　＋−＋−＋−＋−＋−＋−＋−＋−＋
　　｜　｜　｜　｜　｜　｜　｜　｜　｜
　　＋−＋−＋−＋−＋−＋−＋−＋−＋
　　 128　64　32　16　 8 　4　 2　 1

これに、１０進数　３００　を、２進数で代入してみます。

　　＋−＋−＋−＋−＋−＋−＋−＋−＋
　１｜０｜０｜１｜０｜１｜１｜０｜０｜
　　＋−＋−＋−＋−＋−＋−＋−＋−＋
　　 128　64　32　16　 8 　4　 2　 1

一番左のビットがはみ出しています。

「箱」に収まらず、左にはみ出したビットは「切り捨て」られます。

「切捨て」た後に、残ったビットを見てみましょう。

　　＋−＋−＋−＋−＋−＋−＋−＋−＋
　　｜０｜０｜１｜０｜１｜１｜０｜０｜
　　＋−＋−＋−＋−＋−＋−＋−＋−＋
　　 128　64　32　16　 8 　4　 2　 1

残ったビットを１０進数にすると・・・44ですね。

やっと<sample program col013-02>の結果にたどり着きました。

型の表現範囲を超えた数値を代入した場合、「思ったとおりに表示されない」というよりは、「サイズに収まりきらない部分が切り捨てられた数値が表示」されているのです。

まだ<sample program col013-01>は説明できていませんが、これを説明するには２進数でのマイナス表現を理解する必要があります。

では、「マイナスの表現」を見てみましょう。

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